viernes, 29 de octubre de 2010

Pregunta para físicos (2)


En su día expliqué por qué el tiempo pasa más despacio para alguien o algo que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz. La explicación más sencilla que conozco es decir que todos nos movemos en el espacio-tiempo a la velocidad de la luz y que lo que nos movemos en la dirección del espacio dejamos de movernos en la dirección del tiempo, y todo eso calculado según el teorema de Pitágoras.

Sigo aquí mis inquietudes sobre el tiempo y la relatividad iniciadas hace unas semanas. No estoy muy seguro de lo que concluyo, aunque me parece que los pasos son adecuados, de ahí que requiera de la participación de algún físico en la sala.

Pongamos que dos naves espaciales viajan a grandes velocidades en direcciones opuestas y se cruzan. Por ser ambas naves sistemas inerciales (sin aceleración) cada una podrá considerar que se está quieta y que es la otra quien va rápido y, por tanto, que el tiempo se ralentiza en la otra. De hecho, esto es así y, cuando se crucen, cada una podrá observar cómo el reloj de la otra va más despacio que el propio.

Esto último pone de manifiesto que el tiempo es relativo y que no hay manera de que los viajeros de estas dos naves se pongan de acuerdo en que una de las dos medidas del tiempo es más adecuada que la otra. Pero ¿es esta una propiedad local de la teoría de la relatividad? (es mi pregunta para físicos). Si ambas naves tienen acceso a una observación precisa del Universo podrán saber cómo se mueven respecto a las galaxias, y esto es importante.

Si el sistema inercial actual de la nave A (su velocidad y dirección) es producto de una gran aceleración desde un sistema inercial anterior (p.e., desde un planeta normalito) podrá observar que delante de la nave la luz de las galaxias sufre un corrimiento al azul mayor de lo normal mientras que la luz de las galaxias que quedan detrás sufre un corrimiento al rojo inusual. Pongamos que esto no ocurre en la otra nave, que observa corrimientos al rojo similares no importa en qué dirección mire. Ambas naves podrán medir cualquier acontecimiento en "su" tiempo y también en el tiempo "de la otra nave".

En general, cualquier observador del Universo podrá, además de medir el tiempo según su reloj, corregir los cálculos para dar la medida del tiempo para los mismos acontecimientos de alguien que observara corrimientos al rojo iguales en todas direcciones. Aunque ambas medidas del tiempo sean correctas porque están referidas a distintos sistemas de referencia, la segunda puede servir como medida absoluta del tiempo.

Veo aquí algo parecido a la simetría temporal en la física de partículas. Una interacción entre partículas es perfectamente válida si miramos la película al revés. Pero también es una propiedad local. La entropía, que se observa en agregados, permite distinguir la película al derecho de la película al revés. 

miércoles, 27 de octubre de 2010

No viajes sin la media armónica



Un tren va de Madrid a Barcelona, que están separadas por 600 km. Hasta Zaragoza, exactamente a la mitad del trayecto, va a 100 km/h y después acelera hasta 300 km/h. Otro tren sale de Barcelona a Madrid y va a 200 km/h. ¿Cuál llegará antes a su destino?

A bote pronto parece que llegarían igual, ¿no es acaso 200 la media entre 100 y 300? Un sencillo cálculo, sin embargo, nos dice que el primer tren tardará cuatro horas (tres hasta Zaragoza y una más hasta Barcelona) mientras que el segundo tardará solamente tres.

Esto nos abre dos cuestiones de interés:

1. ¿A qué velocidad constante debe ir el segundo tren para tardar lo mismo que el primero? La respuesta es dividir 600 km entre 4 horas, naturalmente, y eso da 150 km/h. Quien sepa sumar y dividir fracciones podrá ver fácilmente que esos 150 son la media armónica entre 100 y 300.

2. Esta confusión entre media aritmética y media armónica es especialmente peligrosa cuando se viaja. Uno va de A a B y se encuentra con tráfico denso durante la mitad del camino. Luego quiere recuperar el tiempo en la segunda mitad. Si pensábamos ir a una media de 120 y hemos ido solo a 100, no basta con ir luego a 140, habrá que ir bastante más rápido para compensar, y eso es fuente de inquietud y estrés, pues uno va a 140 y ve que no se cumple su plan. Mejor no hacer esos planes compensatorios, nos dice la media armónica.

Un turista tiene 600 euros y llega al país X, cuya moneda es el Peso. Primero cambia 300 euros a un tipo de cambio de 1 euro por 1 peso. Cuando va a cambiar los otros 300 resulta que le cambian a 3 euros por 1 peso (cosas de las fluctuaciones de los mercados de divisas). El turista hace un cálculo rápido y estima que el cambio medio que ha tenido es de 2 euros por 1 peso. Craso error, el cambio medio es la media armónica, no la aritmética, y es de 1,5 euros por 1 peso. Los cálculos son los mismos que los del ejemplo del tren.

Moraleja: Si vas a viajar no te olvides de la media armónica.

P.D.: Como siempre, lamentablemente, mejor en la wiki en inglés, llena de ejemplos.

lunes, 25 de octubre de 2010

Para qué sirve la media geométrica o por qué la Wikipedia en español es una kk



En las entradas anteriores veíamos cómo nos fallaba la intuición para manejarnos con un concepto tal sencillo como el de la media aritmética. Si recordamos nuestras clases de matemáticas en el bachillerato recordaremos que nos hablaban también de otra media, la geométrica.

La media geométrica de n números es la raíz enésima de su producto. ¿Para qué sirve eso? No recuerdo ningún libro de texto en que se explicara eso. La tradición continúa en nuestra lamentable Wikipedia en castellano.

No cunda el desánimo, aquí estamos para todo lo que sea verdad, incluso si se trata de la verdad de la media geométrica. La presentaré con tres ejemplos de los que el segundo es el que me gusta más.

Ejemplo primero: Tenemos un rectángulo de lados dos y ocho. La media geométrica será la raíz cuadrada de 2x8, o sea, 4. ¿Y qué? Pues que un cuadrado de lado 4 tiene la misma área que un rectángulo de lados 2 y 8. Hemos hecho una media geométrica de los lados del rectángulo para dar con un cuadrado de igual área.

Ejemplo segundo: Tenemos un país donde hay tres habitantes, con rentas 1, 3 y 9. Pongamos que la felicidad se mide por el logaritmo de la renta (¿tontería? Véase aquí). Podemos preguntarnos ahora qué renta igualitaria daría la misma felicidad que ese reparto tan desigual. Podemos estar tentados a hacer la media aritmética entre 1, 3 y 9 y decir que será 4,33, pero estaría mal, pues habríamos calculado la renta media, no la felicidad media.

La media de la felicidad será la media de los logaritmos: (log1+log3+log9)/3. Repasando nuestras mates, esto es equivalente a log(1x3x9)1/3. Para calcular la renta R igualitaria que da esa misma felicidad tenemos que resolver log(RxRxR)1/3= log(1x3x9)1/3, que se queda en (RxRxR)1/3= (1x3x9)1/3, que se queda en RxRxR= 1x3x9, que se queda en R3= 1x3x9, que se queda en = raíz cúbica de (1x3x9), que se queda en= raíz cúbica de 27 = 3.

Supongo que queda claro que esas últimas operaciones son las del cálculo de la media geométrica de los números 1, 3 y 9.

Ejemplo tercero: El precio de una vivienda crece un 10% un año, baja el 5% el siguiente y sube otro 15% el tercero. ¿Cuánto ha crecido de media cada año?

Si valía, por ejemplo, 100, al cabo del primer año valdrá 100x(1+0,1)=110, al cabo del segundo año valdrá 100x(1+0,1)x(1-0,05) y al cabo del tercero, 100x(1+0,1)x(1-0,05)x(1+0,15). Se trata de buscar un factor de crecimiento que pase del primer valor al último de manera constante: 100xFxFxF. Este factor debe cumplir: F3=(1+0,1)x(1-0,05)x(1+0,15). Es decir, que F es la media geométrica de los valores (1+0,1), (1-0,05) y (1+0,15). Haciendo las operaciones nos da F=1,063, de manera que la tasa media de crecimiento del valor de la casa durante esos tres años es el 6,3% (fijémonos que ese número es menor que la media aritmética de las tasas de crecimiento, que sería 6,66%).

Para terminar y mostrar que, efectivamente, la Wikipedia española es una kk, véase la entrada de la geometric mean en la versión inglesa. Así da gusto.


Te interesará también esta entrada sobre la media armónica, muy útil para viajar.

viernes, 22 de octubre de 2010

Nosotros somos más listos que vosotros


En la entrada anterior quería ilustrar lo difícil que es argumentar con rigor siguiendo nada más que la propia intuición. Lo hacía, además, con un concepto que aparentemente no presenta demasiados problemas, como es la idea de media.

En esta entrada seguiré dando vueltas a la idea de la media y de lo mal que la llevamos en la cabeza.

A menudo me toca oír que si las mujeres son más o menos algo que los hombres, que si los de Bilbao más o menos que los de Madrid y así con cualquier ejemplo que uno se pueda imaginar. No encuentro ningún confort en que se demostrara, por ejemplo, que los hombres tienen en media una mejor capacidad musical. Estoy cansado de oír que el grupo A es más capaz que el grupo B justamente a un especímen del grupo A que claramente está en la parte baja de esas capacidades que tan bien le parece tener.

Cuando mis hijas me dicen que las mujeres son más listas que los hombres yo les respondo que a mí me da igual, que yo soy más listo que la mayoría de ellas y de ellos. (Lo digo por ellas, para que estén orgullosas de su padre.)

Estas comparaciones pueden ser de interés para comprender algunas dinámicas sociales, pero no sé qué valor puede tener para sentirse bien sabiendo que, aunque uno es muy, pero que muy tonto, los de su grupo son más listos que los de más allá.

Pero nadie me ha contestado a la pregunta de la entrada anterior. ¿Por qué las mujeres brillantes se casan con hombres mediocres?

martes, 19 de octubre de 2010

Las mujeres brillantes se casan con hombres mediocres


En la academia de pilotos Volare llevan las cosas manu militari. Los alumnos empiezan de cero y van aprendiendo, con sus altos y bajos. Al nuevo director se le ocurrió la idea de hacer un estudio para saber si un sistema de incentivos basado en premios es más efectivo que uno basado en castigos, de manera que dividió a los alumnos en dos grupos.

Cuando un alumno del primer grupo hace las cosas especialmente bien, recibe un premio; cuando uno del segundo grupo hace las cosas especialmente mal, recibe un castigo. Al cabo de unas semanas dispone de los siguientes datos:

  • La gran mayoría de los alumnos que reciben un premio suelen hacer las cosas peor en los días siguientes.
  • La gran mayoría de los alumnos que reciben un castigo suelen hacer las cosas mejor en los días siguientes.
Con estos datos en la mano, el director concluye que el método del castigo es el adecuado.

¿Tiene razón? ¿Por qué? ¿Quién dijo aquello de que las mujeres brillantes se casan con hombres mediocres? ¿Qué tiene esto que ver con el experimento del director de la academia Volare?

sábado, 16 de octubre de 2010

Apuntes sobre el empleo (3)


El ataque ad hominem es siempre un argumento falaz. En economía se usa con demasiada frecuencia. Que si quien propone esta política es un neoliberal, que si quien propone tal otra es un comunista y así vamos, colocando etiquetas aquí y allá y luego atacando las etiquetas, sin pararse a mirar las propuestas.

A cuenta del Nobel de este año ha habido un pequeño debate en el blog del Pez (blog que recomiendo sin ninguna reserva). Ahí dejé el siguiente comentario a cuenta de si sus análisis sobre el desempleo tienen alguna justificación científica:
"Estos tres economistas (y no solo ellos) vieron en las fricciones una de las causas del desempleo. ¿Tienen razón? 
En nuestro país estas fricciones son mayores que en otros de nuestro entorno:
Hay menos disposición a moverse a otra ciudad, hay un mercado de trabajo más polarizado y hay un mayor cambio tecnológico (fruto del atraso de hace dos días). 
En nuestro país también hay una tasa de paro mayor (en crisis y en bonanza) que en los países de nuestro entorno. 
¿Renunciamos a examinar esa hipótesis?"

miércoles, 13 de octubre de 2010

Apuntes sobre el empleo (2)


Otro de los argumentos falaces en torno al empleo se puede ilustrar de la siguiente manera (muy simplificada).

En España, de cada 100 personas que quieren trabajar, 20 no encuentran trabajo, 40 tienen contratos basura y 40 tienen contratos fijos con buenas indemnizaciones en caso de despido. Una presión sindical o una ley pueden estipular que todos los contratos sean fijos, de esta manera los 40 contratos basura pasarían a ser fijos.

Nadie dice esto de esa manera, pero muchas cosas que se oyen y leen parecen tener ese razonamiento en la cabeza. Ni que decir tiene que, de requerir por ley que todos los contratos sean fijos tendrá por consecuencia que, por ejemplo, 20 empleos con contrato basura pasen a fijos y otros 20 se dejen de demandar. Al final habría un 40% de desempleo.

Un grupo de 100 economistas sugeríamos una reforma laboral basada en un modelo único de contrato con indemnizaciones según antigüedad. De esta manera se pondría un elemento importante para paliar la gran brecha entre los distintos contratos que hay ahora en nuestro país. El blindaje del contrato aumentaría con el tiempo trabajado e, incluso, podría llevarse de un trabajo a otro.

Con esta y otras medidas podríamos hacer más ágil el mercado de trabajo y pasar a tener 30 trabajadores blindados como ahora, 30 a medio blindar y 30 eventuales. En esta situación hay menos trabajadores con contrato blindado, pero hay más trabajadores con contrato no basura y menos desempleo.

lunes, 11 de octubre de 2010

Apuntes sobre el empleo (1)


Hoy que tres economistas han recibido el premio Nobel por sus estudios sobre algunas de las causas del desempleo es buen momento para algunas reflexiones en torno al tema.

Poco de lo que voy a escribir en esta entrada serán argumentos sobre cómo mejorar el nivel de empleo. Intentaré únicamente ilustrar alguna reflexión para llevar mejor el debate.

Empezaré por el argumento más envenenado que se empieza a oír en España, y que se refiere a los inmigrantes. Si hay tanto paro es que sobran inmigrantes viene a decirse.

Podríamos hablar de la aportación de los inmigrantes al dinamismo y crecimiento de la economía española, de que el número de emprendedores entre ellos es mayor que la media nacional, que usan menos los servicios públicos,… pero nada de eso hará mella en quienes mantienen una posición más extrema (y quiero entender que extrema porque de verdad piensen que sí, que gracias, pero que ahora hace falta que se vayan para resolver el problema del desempleo y no que haya motivos xenófobos o racistas).

La reflexión es la siguiente: imagínese que España logra hacer desaparecer físicamente a los cuatro millones de parados, ¿se habrá resuelto el tema de nuestro paro crónico? No creo que nadie piense eso. En el momento de su desaparición, dejaríamos de tener paro, pero en pocos años la estructura del mercado de trabajo, que no habrá cambiado, nos habrá abocado a tasas de desempleo semejantes a las que hemos vivido en las dos últimas décadas, Un 8-10% en épocas de bonanza y un 20% en épocas de crisis.

EEUU recibe millones de inmigrantes al año y su nivel de desempleo no aumenta. Lo mismo le pasó a España antes de la crisis. Un país no tiene un número de puestos de trabajo fijos, sino que este número depende de la población, de su laboriosidad, de la organización del mercado laboral y de las preferencias en cuanto a cómo, cuanto y dónde trabajar, entre otras cosas. Echa al 10% de la población del país y echarás el 10% de los puestos de trabajo.

Seguiré en otra entrada con otros argumentos con su propio veneno.

jueves, 7 de octubre de 2010

Cómo no enseñar filosofía (2)


Sigo leyendo en el libro de Filosofía de 1º de Bachillerato. Esta vez son los dos presupuestos metafísicos de la ciencia.
1. "Los presupuestos metafísicos (de la ciencia) tienden a identificar la realidad con el cosmos...de tal modo que ... si la hay (una realidad "sobre-natural") es irrelevante para el conocimiento científico."
2. "Este cosmos está ordenado de tal manera que ... las mismas causas producen idénticos efectos."
Llevo toda la vida leyendo y oyendo una y otra vez eso mismo y, debo decir, sin demasiada argumentación detrás de esas afirmaciones. Yo, en cuanto rasco un poco, veo que hablar de ellas como de "presupuestos metafísicos" se me antoja bastante fuerte.

Cada uno es libre de llamar a las cosas como le de la gana, pero sugeriría expresiones que sirvan para avanzar, no para estancarse, y, sobre todo, sugeriría no dar por sentado que por usar una expresión estamos argumentando algo.

El modelo de la física newtoniana parte de los presupuestos de "masa", "fuerza", "espacio" y "tiempo", entre otros, como elementos primitivos, que no se explican. De esos presupuestos, más o menos intuitivos, y de las leyes formuladas como fundamentales, que también pueden considerarse presupuestos, por la mecánica clásica (las tres leyes de Newton) se deduce todo lo demás. Sin esos presupuestos tendríamos otra física. Por ejemplo, con el presupuesto de la constancia de la velocidad de la luz y el de considerar el tiempo junto con el espacio, tenemos la mecánica relativista. Distintos presupuestos dan lugar a distintos modelos. Este es el significado que yo sé dar al concepto "presupuesto".

El llamar a los puntos 1. y 2. anteriores "presupuestos" pareciera indicar que podríamos partir de otros presupuestos y hacer otras cosas. ¿Podemos formular otra manera de conocer la realidad, de hacer ciencia, de filosofar, sin el "presupuesto" de que lo sobre-natural, de existir, es irrelevante? La respuesta contundente al 100% de seguridad (metafísica, si se empeña uno en adjetivarla así) es que no. Tal vez me he dejado llevar. No hace falta demostrar que es al 100%, basta con que ningún objetor a ese "presupuesto" es capaz de formular otro. Tal vez si un día dejamos de ser mortales para ser dioses omniscientes tengamos acceso a cosas sobrenaturales, pero entonces habrá cambiado el sujeto de la pregunta.

El llamado "presupuesto metafísico" número 1. no es un presupuesto en la acepción arriba expresada. Es solamente la constatación casi de perogrullo y completamente empírica de que lo que no tiene efecto en lo que se nos aparece como observable directa o indirectamente, es irrelevante para nuestro quehacer. Punto pelota.

El llamado "presupuesto metafísico" número 2. tampoco lo es. Es también la constatación empírica de que observamos regularidades. "Presuponiendo" el caos a lo que llegamos es a una contradicción, puesto que formulando leyes nos manejamos mejor en la realidad que observamos. No es un presupuesto, es un hecho. Punto pelota final.

domingo, 3 de octubre de 2010

¿Puede la economía evitar ser normativa?

Los economistas distinguen entre economía positiva y economía normativa. La economía positiva busca establecer hechos: ¿Promueven los monopolios el progreso técnico? ¿Una devaluación mejorará la balanza de pagos? La economía normativa, por otra parte, se interesa por cuestiones de política, sobre cosas “buenas” y “malas”. ¿Debe ser progresivo el impuesto sobre la renta? ¿Debe haber una legislación que favorezca la competencia?

La economía con perspectiva descriptiva tendría un trabajo parecido al de las ciencias naturales en el sentido de que buscaría leyes que describieran las regularidades observadas y teorías de comportamiento económico que las explicaran. Pero los economistas, al trabajar con un elemento que es susceptible de cambiar su comportamiento según ideologías, aprendizaje, etc., pueden tener otra función, la de proponer comportamientos alternativos. Hay diferentes planos en los que se puede hacer esto. El economista puede proponer unas normas básicas de comportamiento económico que se desprenden de unos pocos principios básicos presumiblemente aceptados o aceptables y cuya consecuencia lógica no ha sido prevista por los agentes económicos. En este sentido el economista sería un consultor.

A medida que nos alejamos de las proposiciones bien establecidas en la economía, el carácter normativo empieza a estar menos justificado. Por ejemplo, la proposición “debe tomarse la medida A” es normativa. Para que sea aceptable debe ser coherente con unos fines propuestos, así que mejor sería decir “si se quiere alcanzar el objetivo X, debe tomarse la medida A”, o mejor “de acuerdo con la teoría T, la medida A tiene como consecuencia que suceda X”. En este último momento la proposición ha pasado a ser descriptiva, en la medida en que la ley enunciada esté en consonancia con la realidad. Como las consecuencias de las medidas económicas son, generalmente, mutidimensionales, la cautela debe ser todavía mayor que la expuesta. Así, tal vez la proposición debería ser la siguiente: “de acuerdo con la teoría T, la medida A tiene como consecuencias X e Y, mientras que la B tiene como consecuencias X y Z”, o incluso se podría añadir, “y de acuerdo con la teoría H, las consecuencias de A y B son....” o, bien “de manera que si se prefiere Y sobre Z se preferirá T sobre B”. Así podríamos complicar indefinidamente la complejidad de la proposición.

A pesar del carácter condicional de estas proposiciones para hacerlas descriptivas, la impresión general es que, o bien por usar distintas teorías, o bien por interpretar una misma teoría desde distintas evaluaciones personales, los economistas pueden estar induciendo solapadamente un carácter normativo no justificado. Hay, cuando menos, dos posturas frente a este problema. La primera consiste en dar la información lo más completa posible en las proposiciones derivadas de las teorías para dejar al decisor que decida cuál de los condicionales es el que se aplica en su caso. Según la segunda, el economista da la información que considera relevante haciendo notar cuáles son los juicios de valor que le llevan a esta determinación.

La economía positiva no incorpora juicios de valor; sus descubrimientos son tan impersonales como los de la astronomía y la meteorología. En este sentido es posible una economía libre de juicios de valor; si la economía trata acerca de la aplicación de medios para conseguir objetivos, no hay razón para no analizar la asignación de recursos para conseguir cualquier fin. Esto no niega que la mayor parte de las proposiciones económicas de interés añaden juicios de valor sobre un conjunto de hechos y que el sesgo ideológico influye en la elección de las cuestiones que la economía trata de investigar. El mejor seguro frente al sesgo de un economista en particular es la crítica de los demás economistas. La mejor protección frente a declaraciones especiales en nombre de la ciencia son los estándares profesionales de los científicos.