miércoles, 30 de marzo de 2011

Prejuicios económicos 1


Los hay a patadas. Pero últimamente hay dos que andan rondando. Como suelen venir de lados opuestos, viene bien para ilustrar este tema.

El primero sale a cuenta de las declaraciones de algunos políticos, alguna reciente, acerca del copago (o que así se entendieron, da igual para nuestro caso). Por copago, en un sistema de salud pública como el nuestro, se entiende el hecho de pagar algo cuando se recibe un servicio médico. Debe decirse que tal cosa ya existe con los medicamentos, donde el usuario paga una parte, aunque tenga la receta.

Muchas voces salen en contra de llevar más allá esa idea, por ejemplo cobrando un euro por consulta o unos céntimos por receta. Se dice que ya estamos pagando por otra parte, que es un insulto llamarlo copago porque con nuestros impuestos se paga el 100%, que nos empezaríamos a cargar un derecho fundamental.

Esas cosas pueden ser ciertas, pero no son argumento de nada. Lo que importa es si alguna manera de adoptar un copago (o como se quiera llamar) permite un mejor uso de los siempre escasos recursos sanitarios. Por ejemplo, pudiera pasar que disminuyen las visitas innecesarias a urgencias o al médico de familia sin que se produzca ningún problema de desatención...

.... o pudiera pasar lo contrario. El caso es que la respuesta a la cuestión debe ser empírica, y nunca podrá ser deducida a priori por planteamientos ideológicos, es decir, prejuiciosos, en ninguna de las dos direcciones.

El segundo vendrá en una siguiente entrada.

domingo, 27 de marzo de 2011

Horarios


Chicago se encuentra a una latitud intermedia entre Bilbao y Madrid. Esto quiere decir que cada día del año, el sol se levanta y se acuesta a aproximadamente la misma hora solar en Chicago que en las otras dos ciudades.

En Chicago, como en todo Estados Unidos, la jornada suele empezar a las 8 de la mañana. A las cinco de la tarde mucha gente está de regreso en sus hogares. Cuando me preguntaban por las costumbres españolas, se sorprendían que comenzáramos más bien a las 9. El horario escolar es una buena indicación de las costumbres madrugadoras. Es difícil contrarrestar la fama poco trabajadora y de fiesta con estos datos.

Sin embargo, yo siempre argumento que muchos días de invierno en Bilbao o Madrid uno se levanta cuando el sol todavía no ha salido. En cambio en Chicago casi nunca se levanta uno sin que el sol esté ya arriba del horizonte. Con la hora solar en la mano, en España se madruga igual o más que en cualquier país.

La razón está en que vamos con la hora cambiada. En lugar de tener la hora solar que nos corresponde y que nos pondría con Portugal, Irlanda y Reino Unido, tenemos la hora de Europa Central. Parece que en el pasado alguien encontró una ventaja en esto. El resultado fue, como vemos, que los horarios reales se desplazaron con la luz, con lo que el tener la hora adelantada no sirve de nada.

El problema de los horarios en España no es madrugar más o menos, o acostarse antes o después, sino el tener demasiadas horas de inactividad alrededor de la comida y el tener demasiadas empresas, jefes y empleados que no hacen nada por el alargamiento de la jornada por las tardes. En España tenemos demasiadas horas improductivas en el puesto de trabajo que estarían mejor empleadas en otras actividades.

Y con el cambio de hora, estaremos dos horas desfasados con respecto al horario solar. Todo para ahorrarnos apenas 10 euros por persona. Yo pago los de mi familia y los de otra más por evitarnos esta molestia.

jueves, 24 de marzo de 2011

La economía de la discriminación 2


Hace un par de entradas planteábamos un sencillo modelo de discriminación, donde la causa eran las preferencias discriminatorias de los empleadores. Como consecuencia, los empleadores discriminadores pagaban un coste por sus preferencias, al privarse de poder contratar al colectivo discriminado.

Con una discriminación completa, como la expuesta en la entrada anterior no estaríamos, estrictamente hablando, ante un caso en el que se pague un salario diferente por un trabajo igual, sino que personas con igual capacidad de trabajo están ejerciendo distintos trabajos. Para tener esa situación necesitamos que algunos miembros del colectivo discriminado permanezcan en el sector discriminador. Es decir, es necesario que algunas mujeres cualificadas encuentren todavía más atractivo el salario al valor de la productividad marginal menos el coeficiente de discriminación que el salario alternativo en otros sectores o que la alternativa de no trabajar.

Una particularidad de este tipo de modelos de discriminación basados en las preferencias es que no tienen que ser exactamente los empleadores (empresarios) quienes tengan este tipo de preferencias. Es posible llegar al mismo tipo de resultados que los expuestos si existen estas preferencias entre el colectivo de trabajadores, entre los clientes o los proveedores de la empresa. Los empleados varones que tengan preferencias discriminatorias contra las mujeres actuarán como si su salario se viera reducido por su coeficiente de discriminación. De esta manera solo consentirán ser empleados con mujeres si reciben un salario que les compense por este coeficiente.

En este caso, la solución obvia desde el punto de vista del empresario sería la segregación de la fuerza de trabajo. Es decir, emplear únicamente a hombres o a mujeres, para de esta manera no pagar el diferencial que compense por el coeficiente de discriminación. Aún así es posible que los empresarios se encuentren en la situación de poder demandar trabajo femenino después de haber realizado una inversión específica en empleados varones (por ejemplo, si por circunstancias exógenas a ellos hay más mujeres capacitadas para cierto tipo de trabajos). En este caso puede ser más provechoso pagar este diferencial para emplear mujeres que despedir a todos los hombres y contratar mujeres únicamente y más provechoso que limitarse a contratar entre la población masculina.

Las preferencias discriminatorias entre los empleados puede alterar la productividad (en principio idéntica) de las mujeres. Esto ocurre, por ejemplo, cuando una parte sustancial de la práctica del nuevo trabajo se realiza de manera informal, de manera que los supervisores o compañeros de trabajo varones rehusan o descuidan la formación de las mujeres empleadas.

La discriminación por parte de los clientes también reducirá la productividad de las mujeres. Los clientes actuarán como si los bienes o servicios provistos por mujeres tuvieran un precio superior (o una calidad inferior), aumentado (disminuida) por su coeficiente de discriminación. Para el empresario esto equivale a una disminución de ingresos. Las mujeres no se contratarán en estos trabajos o se les pagará menos (para compensar la disminución de ingresos).

En este tipo de modelos no hay pérdida de eficiencia si se respetan las preferencias de los individuos en la economía. Sí la habrá, en cambio, en la medida que estas preferencias sean deploradas por parte de la sociedad. En este caso las preferencias discriminatorias causan una externalidad negativa. El criterio de eficiencia requiere que estas externalidades sean internalizadas, tal vez subvencionando o incentivando de otra manera la contratación del grupo discriminado por el grupo discriminante.

lunes, 21 de marzo de 2011

Libia


Hace unos meses me puse un poco utópico con el orden mundial. En un alarde de ingenuidad (por lo de irreal, no por lo de irrazonable en lo que toca a mis preferencias) proponía un club con los países democráticos que hiciera un lista de países según su falta de respeto a los derechos humanos que se dedicara a presionar al último de la fila.

En vista de los hechos en las revueltas de los países árabes, me atrevo a añadir otro criterio más, el de ayudar sistemáticamente a toda revuelta que se levante contra un dictador.

Tiene de bueno que, si ya hay una revuelta, hay un mínimo de oposición organizada, que podrá tomar las riendas del poder tras la caída del dictador. De esta manera se evita lo que pasó en Irak. Claro que el problema es que pase lo que ocurrió cuando EEUU apoyó a los talibanes contra los soviéticos en Afganistán. La ayuda a las revueltas deben estar condicionadas a una organización democrática allá donde vayan tomando poder.

Mirando el mapa de la revuelta en Libia, se me antoja que lo que ocurra en la ciudad de Misrata definirá lo rápido o lento que vaya todo.

viernes, 18 de marzo de 2011

La economía de la discriminación 1


Históricamente, el primer modelo formal de análisis económico en el tema de la discriminación (racial o sexista) es debido a Becker y se basa en las preferencias discriminadoras por parte de algunos agentes económicos. Los empleadores con preferencias discriminatorias contra las mujeres en ciertos trabajos serán maximizadores de utilidad, en contraposición al comportamiento usual de maximización del beneficio. Para ellos, el coste de emplear a una mujer incluye, no sólo su salario, sino también un coeficiente de discriminación que refleja el valor pecuniario asociado a la desutilidad causada por su presencia en ese puesto de trabajo. Así, estos empleadores estarán dispuestos a contratar a una mujer sólo a un salario menor que el de los hombres.

Analicemos un caso extremo de esta conducta. Consideremos dos mercados de trabajo, uno en el que se requieren ciertas capacidades (A) y otro en el que no se requieren (B). Si ahora se prohíbe el trabajo a las mujeres en el mercado A, habrá menos oferta en este mercado. Algunas mujeres abandonarán el mercado de trabajo, pero otras se incorporarán al B, incrementando la oferta en este mercado.

Habríamos llegado al mismo resultado si, en lugar de que se prohibiera el trabajo femenino, los empleadores en A tuvieran un coeficiente de discriminación lo suficientemente alto como para que el salario de las mujeres en A fuera tan bajo con relación al nuevo salario en B o a la alternativa de no trabajar, que salieran del mercado A.

Este modelo conduce a las siguientes conclusiones:

1.      Se benefician de la discriminación:
1.1.   los trabajadores no discriminados en el sector que discrimina (los hombres cualificados)
1.2.   los empleadores del sector que no discrimina (puesto que ven incrementada la oferta de trabajo y pueden contratar a salarios inferiores)
2.      Se perjudican:
2.1.   todos los trabajadores del colectivo discriminado (las mujeres)
2.2.  los trabajadores del colectivo no discriminado en el sector que no discrimina (hombres no cualificados)
2.3.   los empleadores del sector que discrimina (se perjudican en términos monetarios: es el precio que pagan por mantener sus preferencias discriminatorias).

Este último resultado ha servido para argumentar que, a largo plazo, la competencia en los mercados de productos y de capital expulsará del mercado a los empleadores que pagan el coste extra de discriminar. 

Como la discriminación por raza y sexo existe desde hace mucho tiempo, parece existir una base para rechazar el modelo (es lo que dice, por ejemplo, Arrow). En  general, los empleadores que discriminan ganan menos beneficios monetarios que los que no discriminan, pero esto no implica que serán expulsados del mercado. Los beneficios no obtenidos deben ser considerados como gastos de consumo. Mientras los recursos del empleador sean lo suficientemente grandes como para permitir algún consumo, no hay ninguna inconsistencia entre competencia perfecta y la existencia de diferencias de salario estables en el largo plazo derivadas de las preferencias de los empleadores.

Continúa en La economía de la discriminación 2.

martes, 15 de marzo de 2011

El discurso del monopolio intelectual


En las entradas sobre el monopolio intelectual sostengo que sus defensores rara vez tratan los argumentos que importan: ¿produce más creación? ¿se difunde mejor? ¿es la mejor alternativa para dar una compensación a los autores? Cuando lo hacen es para manifestar, sin más prueba que una afirmación gratuita, su parecer sobre estos temas. Ni una evidencia empírica.

Hace una semana, en El País, pudimos leer un discurso tristemente típico de alguna intelectualidad hispana. La concatenación de términos que, de puro ponerlos juntos, se espera que se impliquen unos a otros.

Analicemos ese discurso.

Primer párrafo: Las obras intelectuales no tienen materialidad alguna.

Segundo párrafo: El derecho trata las obras intelectuales con las herramientas del derecho de propiedad.

Tercer párrafo: Aquí tenemos algo muy interesante. "El primero que crea u ocupa ese espacio, aquel al que se le revela por primera vez, puede considerarse su propietario." La idea es que el creador de una idea está en la posición ideal del propietario legítimo que crea u ocupa un espacio.

Cuarto párrafo: Un segundo argumento para defender la propiedad de la obra inmaterial. Aquél que otorga la propiedad a quien realiza una mejora.

Quinto párrafo: Un tercer argumento, esta vez basado en la utilidad del objeto de propiedad.

Sexto párrafo: El argumento para defender el monopolio de las copias ajenas. "Se me dirá que esto no lo discute nadie, que todos admiten hoy que una canción es de quien la crea, que apoderarse de ella o suplantar al creador debe seguir castigándose como apropiación y plagio. Pero no se pretenda después que, sentado esto, cualquiera puede reproducirla o descargarla sin pago alguno. Eso es incongruente."

Séptimo párrafo: Una analogía traída por los pelos con el anillo de Giges y el anonimato de quienes se oponen a la ley Sinde.

Todos y cada uno de los párrafos que no son el sexto son totalmente ajenos al argumento que se hace en el sexto. Nadie niega la autoría y el derecho de propiedad sobre la obra inmaterial. Estaría bien que el autor pudiera decirnos cómo se deduce lógicamente de este derecho el derecho de monopolio sobre las copias privadas. O, por lo menos cómo se deduce en derecho. O, por lo menos, por qué es económicamente conveniente (según pueda contestar a las preguntas con que comienzo esta entrada).

Ninguna deducción es legítima. No hay deducción lógica, por cuanto es perfectamente posible atribuir derecho sobre la obra inmaterial y no sobre las copias. No hay deducción basada en el derecho, que ha reconocido en múltiples ocasiones la limitación del derecho de propiedad en aras del interés social. Esto ocurre con la limitación del poder de monopolio (obligando a enajenar activos tras una fusión de empresas, por ejemplo, o prohibiendo la posición dominante en un mercado) o la limitación de cómo puede construir uno en su propiedad o mil ejemplos más. La limitación de la propiedad sobre la obra inmaterial para que no traspase a las copias ajenas es un caso más de limitación de la propiedad para evitar que el ejercicio del monopolio lleve a situaciones lesivas para la sociedad.

No hay deducción económica, sino más bien lo contrario. La respuesta a las preguntas es que el monopolio intelectual no incentiva la producción (más bien lo contrario puede ser cierto), que definitivamente limita la difusión y que, desde luego, no es la única, ni la mejor, ni la más generosa manera de retribuir a los autores. Los argumentos de por qué esto es así los he ido exponiendo en las entradas sobre el monopolio intelectual. Hoy solo quería señalar lo terriblemente mal que están hilados los argumentos de algunos de sus defensores.

sábado, 12 de marzo de 2011

¿Qué es esa cosa llamada ciencia?

De unos comentarios míos en el Otto Neurath:

Hay algunos seres humanos que en algún momento se proponen un proyecto: entender y explicar la realidad. Lo primero que encuentran es que ese proyecto, así dicho, no está bien expresado. La definición no es operativa y discutiremos eternamente acerca de lo que es entender y explicar.

Así, pues, optan por la siguiente definición, que es la que definirá el proyecto a partir de ahora: encontrar hechos, leyes que generalicen los hechos y teorías (conjunto de leyes primitivas) que expliquen las leyes (excepto las primitivas).

Además, proponen una medida para saber si esas teorías explican o no: si con una predecimos más y mejor los hechos y con ellas podemos interactuar más y mejor con la realidad (usando la ley de la palanca para mover objetos, por ejemplo) que con una alternativa, será esa la definición de mejor explicación.

A partir de aquí buscamos una manera de construir o testar esas teorías. Esto es el método científico (lógico-deductivo-materialista-positivista-legalista-naturalista-o como se quiera llamar).

Con ese método construimos teorías que, efectivamente, con el criterio anterior, ofrecen cada vez mejores explicaciones. ¿Dónde está la circularidad o el suponer lo que queremos demostrar?

A priori nos marcamos un proyecto. A posteriori comprobamos que nos acercamos a él. El que el método permita esto es su virtud, no su defecto.

Podía no haber ocurrido así. Podíamos haber construido teorías que ofrecen mejores explicaciones con el criterio anterior basadas no en el método lógico-deductivo-positivista-..., sino con el método de hacer caso a un maestro, el de la palabra revelada, el de mirar los posos del café, el de la metafísica, el de la dialéctica, you name it. Pero no ha sido así.

Podía haberse dicho: como mi objetivo es acercarme a Bilbao, es redundante decir que me he acercado a Bilbao porque resulta que mido el éxito según si estoy más cerca de Bilbao. Bilbao a priori y a posteriori. Eran mejores las paradojas de Zenón de Elea.

Se ha dicho: por lo menos el fideísta busca una explicación absoluta, y eso tiene de bueno. Por lo mismo podía haberse dicho: por lo menos el fideista persigue una quimera, y eso tiene de bueno. 

De hecho los granos se extirpan sin definiciones perfectas de grano y de extirpabilidad.

Hay una mejor manera de entender y explicar la realidad (según lo dicho antes acerca de esos términos). El hecho de que algunos filósofos no sepan encajarla en sus esquemas mentales dice algo acerca de lo mal formulados que están esos esquemas mentales y nada acerca de esa mejor manera.

Tal vez se refieran a que entender y explicar es otra cosa. Está bien. Pero esto abre dos cuestiones.

Primera: si tienen otra manera de dar una mejor definición de explicar y entender y se mojan con una manera operativa de comprobar si cumplen el objetivo, adelante.

Segunda: aunque no les guste la propuesta del comentario (eso de saber que decir que estamos entendiendo más cuando interactuamos mejor con la realidad) por lo menos podrán hacer el ejercicio de decir "condicionado a ese objetivo proponemos tal y cual cosa que será mejor que ese positivismo".

Como nadie ha conseguido nunca proponer nada distinto y mejor que el método científico yo, como Diógenes ante el discurso de Zenón de Elea, diré que el movimiento se demuestra andando.

miércoles, 9 de marzo de 2011

Lo confieso: soy feminista

Ahora que acabamos de pasar el día de la mujer, confieso mi feminismo. Como hay muchos discursos feministas, habrá que dejar claro a cuál me refiero.

En primer lugar, soy feminista en un sentido que creo es general en nuestra sociedad, en el que declara que hombres y mujeres deben ser iguales en todo tipo de derechos y obligaciones, y en que deben garantizarse la igualdad de oportunidades de ambos sexos. No parece esto ser muy feminista hoy en día, pero históricamente lo ha sido hasta hace dos días.

En segundo lugar, soy feminista porque pienso que debemos mirar con suspicacia situaciones donde haya desequilibrios entre ambos sexos. Es posible que haya tendencias (medias) en hombres y mujeres que expliquen algunos desequilibrios en la participación de los sexos en alguna actividad, pero todavía es temprano para asegurar que eso sea así. Las mujeres eran minoría hasta hace poco en los estudios de derecho, mientras que ahora son mayoría. Ahora mismo son minoría en ingeniería. ¿Debemos concluir que la razón es que las mujeres no se sienten tan atraídas por esta carrera como los hombres o que el cambio en ingeniería está ocurriento de manera más lenta de cómo lo hizo en derecho? En ausencia de una respuesta clara, no debemos eliminar la posibilidad de que esté habiendo algún tipo de dinámica histórica, de discriminación o de lo que sea que impide un aumento a mayor ritmo del número de ingenieras.

En tercer lugar, soy feminista porque pienso que debemos tomar políticas activas para contrarrestar las fuentes de discriminación y las dinámicas sociales que impiden la garantía de la igualdad de oportunidades.

Finalmente, soy feminista porque tengo dos hijas. Yo estoy bien colocado. Mi carrera no va a depender en ninguna medida apreciable de que la sociedad se haga más machista o más hembrista, pero la de mis hijas sí. A mí me importa un comino que las mujeres sean en media más listas o más tontas que los hombres. Lo que me importa es lo listo o tonto que soy yo y, como ya he dicho, mi trabajo no dependerá de que hombres o mujeres acaparen nada. Sí me importa, en cambio, que algún tipo de prejuicios o de información sesgada acerca de las capacidades o voluntades de las mujeres y hombres haga que a mis hijas se las juzgue según ese sesgo y no según sus propias capacidades.

lunes, 7 de marzo de 2011

Qué no dice el teorema de Gödel


En la entrada anterior repasaba el teorema de Gödel. Conviene saber lo que dice para entender lo que no dice. Esto último es especialmente importante porque se han querido extrapolar conclusiones que no se siguen. He aquí un par de ejemplos.

1. El teorema de Gödel no dice nada acerca de la superioridad de la mente humana respecto a la posible inteligencia artificial.

Quien afirma lo contrario (el propio Gödel parece que iba por ahí) parte de la observación de que un sistema formal lo suficientemente potente es por fuerza incompleto. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto. Con todo, este "saltar del sistema" es un proceso que permite mejorar los sistemas. La mente humana, según este planteamiento, podría "saltar" indefinidamente.

El argumento anterior es falaz por dos razones. Por una parte, no habría problemas para aceptar que una máquina pueda saltar de un sistema a otro. Por otra, la mente humana es finita y nunca podrá saltar indefinidamente de un sistema a otro. Es más, saltar indefinidamente no consigue tampoco llegar a ningún sistema completo. Simplemente se salta indefinidamente.

2. El teorema de Gödel no establece un dominio de la realidad que sea inaccesible a la mente humana.

Hay dos problemas históricos en la filosofía de la ciencia o del conocimiento. El primero es el problema de la realidad exterior: ¿existe? ¿es como se nos aparece? La ciencia no trata este tema ni, como se suele afirmar, lo supone a priori. Simplemente se dedica a dar cuenta de las regularidades que se nos aparecen en esta acaso apariencia de realidad exterior. Que haya tales regularidades no es ningún fundamente metafísico de la ciencia sino una constatación empírica.

El segundo problema es el de las otras mentes. No tenemos acceso al mundo de sensaciones, sentimientos, pensamientos,... que ocurren en las otras mentes. Ni siquiera tenemos constancia de que existan las otras mentes. Para esto último tenemos el test de Turing: las otras mentes lo pasan sin problema. Para saber de sensaciones y pensamientos no tenemos nada más que la posible empatía por pertenecer a la misma especie.

Quienes ven en el teorema de Gödel un nuevo límite a nuestro conocimiento de la realidad confunden el modelo con la realidad. Si la realidad es finita, por ejemplo, inmediatamente tenemos que no responde a los supuestos del teorema de Gödel y nada de lo que dice el teorema se aplica en ella.

Un  momento, dirá alguno, el sistema formal de las matemáticas está dentro de la realidad y, por tanto, todo lo que pase en ese modelo será parte de la realidad. Sí y no. Sí en un sentido débil, digamos. Es una parte de la realidad que podríamos decir creamos los seres inteligentes. No en un sentido fuerte, puesto que las matemáticas no son nada creado de verdad. Es decir, no hay nuevas partículas elementales, por ejemplo. Lo que hay es un juego inventado, un deducir cosas de acuerdo con unas reglas. Ocurre simplemente que con ciertas reglas no se puede llegar a establecer un valor de verdad a ciertas posiciones del juego. Que ese juego nos sirva a los mortales para interpretar cosas de la realidad es algo ajeno a la realidad.

Pero tampoco dice que no podamos entender la realidad, puesto que incluso si fuera pequeña, finita y abarcable al ser humano podríamos seguir construyendo modelos formales con teoremas de Gödel. Así que el problema que pueda plantear el teorema no es sobre la realidad, sino sobre las reglas deductivas, que no llegan a construir según qué enunciados.

¿Cómo cabe un sistema formal que contienen los números naturales, que son infinitos, en un mundo finito?

Sólo el darse cuenta de lo anterior debería ser suficiente para mostrar que los números naturales (así como los sistemas que los contienen) no existen más que como construcción nuestra y ciertamente nunca los construiremos todos. Solo tenemos como prueba de su existencia el que podemos mostrar que la existencia de cada uno de ellos se deduce recursivamente, no porque los hayamos escritos todos. Es la potencia del argumento recursivo lo que se limita en el teorema de Gödel, nada más. Las verdades de la ciencia siguen siendo las mismas, las establecidas empíricamente.

jueves, 3 de marzo de 2011

Qué dice el teorema de Gödel


Euclides basó toda la geometría griega en cinco postulados:

1. Por dos puntos solo pasa una recta.
2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.
3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela.

Durante mucho tiempo se pensó que el quinto postulado era superfluo, y que debería poderse deducir de los anteriores. Hoy sabemos que es necesario para definir la geometría plana. Con un quinto postulado que diga que no hay ninguna paralela tendremos la geometría esférica (cerrada) y con uno que diga que hay más de una tenemos la geometría hiperbólica (abierta).

Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.

La respuesta de Gödel es inquietante: Cualquier sistema formal consistente (que no contenga contradicciones) que permita describir la aritmética será necesariamente incompleto. Siempre habrá afirmaciones que se puedan expresar en el lenguaje del sistema cuya veracidad o falsedad no se puedan demostrar en ese sistema.

Demostrar una afirmación (o su negación) significa que, manipulando los símbolos del sistema según sus reglas, se puede construir tal afirmación (o su negación). Podría ser posible demostrar esa afirmación (o su negación) en otro sistema formal, pero ese otro sistema tendría, según el teorema, sus propias proposiciones indemostrables dentro de él.

Gödel demuestra su teorema haciendo ver que en un sistema formal T que reúna las características pedidas es posible enunciar una proposición X que diga lo siguiente: "La proposición X no es demostrable dentro del sistema T". Si la proposición X fuera demostrable, tendríamos una contradicción (sería demostrable porque la hemos demostrado, y no demostrable porque es lo que dice la proposición). Pero como no es demostrable, la proposición es cierta, porque dice justamente eso.

El teorema de Gödel dice, entonces, un par de cosas más. La primera es que existen proposiciones ciertas cuya veracidad no es demostrable dentro del sistema. La segunda es que hay que distinguir entre proposiciones bien construidas dentro de un sistema (las que se demuestran) y verdades deducidas fuera del sistema.

La veracidad de la proposición X se ha establecido fuera del sistema T. Se suele referir a esto como "saltar del sistema". Podemos ahora añadir esa proposición X al conjunto de axiomas del sistema T, pero entonces el sistema se habrá convertido en otro sistema, el T', que tendrá su propia proposición indecidible (indemostrable) X' que dirá "X' no puede demostrarse dentro del sistema T'.

Así pues tenemos que los sistemas formales que puedan describir los números serán necesariamente incompletos. Habrá proposiciones indecidibles. Las matemáticas no pueden ser completas.

No es el caso de la geometría euclidiana, que puede axiomatizarse para ser completa.